關於數學證明的一些筆記

數學證明分四個基本層次:
公理集合 ⊃ 公設集合 ⊃ 定理(Theorem)集合 / 引理集合 / 推理集合 ⊃ 命題(Proposition)集合

1.同類學科的不同的公理集合劃分出並行領域內的不同學科
比如: 數理邏輯學和度量幾何學

2.同一學科內的不同的公設集合劃分出並行的不同子學科
比如: 在平面幾何學中旗下的子幾何學有歐幾里德平面幾何學, 伽利略平面幾何學, 鮑耶爾雙曲幾平面何學等.
所有這些平面子幾何學它們的公理集合都相同, 但是公設集合不相同, 而且相互對立的矛盾公設都不會在同一個公設集合中. 比如: “過直線外的一點決沒有任何一條平行線的公設”屬於伴歐幾裏德平面幾何學, “過直線外的一點有無數條平行線的公設”屬於鮑耶爾雙曲幾平面何學等.

3.同一子學科內的不同的定理集合劃分出並行的不同篇章

4.同一子學科內的不同的命題集合都是需要使用一定的定理集合給予證明

以上整理自: http://sciscape.org/smf/index.php?PHPSESSID=8503c0d90f2a7b09a8a19b50bfb02e5a&topic=17922.msg36089#msg36089

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* 名詞定義 *
定理(Theorem)
命題(Proposition)
引申定理(Corollary)
輔助定理(Lemma)

假設(Assumption)

* 名詞解釋 *
Theorem: 就是定理, 比較重要, 簡寫是 Thm

Proposition: 有人翻譯為"命題", 有些作者喜歡用, 大概也可以算是比較簡單的定理的一種稱呼

Corollary: 引申定理或推論, 由定理立即可推知的結果

Lemma: 輔助定理或小定理, 通常是為了證明後面的定理. 如果證明的篇幅很長時, 可能會把證明拆成幾個部分來敘述, 篇幅可能變多, 但脈絡較清楚

Property: 性質, 結果雖然值得一記, 卻沒定理來的深刻

Claim: 證明時先敘述一個結果, 再作證明. 看的人比較輕鬆

Note: 通常只是一個註解

Remark: 涉及一些結論, 比較起來"Note"比較像說明,  "remark" 則常是非正式的定理

至於"定義"可以想成是一個若且唯若的定理

以上整理自: http://hicammie.blogspot.com/2008/05/theorempropositionlemmacorollaryassumpt.html